Mittlerer Abschnitt
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Achsensymmetrie von s
Der Term von \(s\) mit
\( \quad \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \big(x^4 + 2560 x^2\big) +\frac{125}{256} \)
\(\\\)
enthält nur \(x\)-Terme mit geraden Exponenten. Damit ist \(s\) achsensymmetrisch
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Höhe des Tragseils in der Mitte des mittleren Abschnitts
Die Mitte des mittleren Abschnitts liegt bei \(x=0\). Wir berechnen also.
\( \quad \begin{array}{ r c l } s(0) & = & \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \big(0^4 + 2560 \cdot 0^2\big) +\frac{125}{256} \\[12pt] & = & \frac{125}{256} \\[12pt] & \approx & 0{,}488 \\ \end{array} \)
\(\\\) Das Tragseil hat in Mitte eine Höhe von \(4{,}88 \, m\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Term zweier Punkte des Tragseils
Der Term von \(r\) ist eine mehrfach verkettete Funktion von der Form
\( \quad \begin{array}{ r c l l } s(x) - 0{,}5 & = & s(x + 4) \\[12pt] \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \big(x^4 + 2560 \cdot x^2\big) +\frac{125}{256} - 0{,}5 & = & \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \big((x+4)^4 + 2560 \cdot (x+4)^2\big) +\frac{125}{256} & \Bigl| \, -\frac{125}{256} \\[12pt] \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \big(x^4 + 2560 \cdot x^2\big) - 0{,}5 & = & \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \big((x+4)^4 + 2560 \cdot (x+4)^2\big) \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Term im Sachzusammenhang
-
\(k\) steht für die Anzahl der Halteseile. Bei einen Abstand der Pfeiler von \(40\) Einheiten im Modell und \(25\) Zwischenräume zwischen den Pfeilern muss der Abstand zwischen zwei Halteseile \(1{,}6\) sein.
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\(x=-20\) ist die Position des linken Pfeilers. Das erste Halteseil befindet sich \(1{,}6\) rechts von \(x=-20\).
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Funktion \(s\) berechnet die Höhe des oberen Endes des Halteseils. Das untere Ende liegt bei der Höhe Null. Der Faktor \(10\) rechnet die Modellwerte in die Werte der Hängebrücke in Metern um.
\(\\\) Folglich gibt der Term die Summe der Längen aller Halteseile an.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 5 – Länge des Tragseils
Für die Länge des Tragseils verwenden wir die Funktion \(s\) und benötigen \(s'(x)\). Zum Ableiten von \(s\) können wir den Faktor \(\left(\frac{1}{8}\right)^6\) nach der Faktorregel übernehmen und stehen lassen.
\( \quad s'(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left( 4 x^3 + 2 \cdot 2560 x \right) \)
\(\\\)
Damit ist die Länge des Tragseils
\( \quad L = \displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{\int\limits}}}_{-20}^{20} \sqrt{1 + \Big( \left(\tfrac{1}{8}\right)^6 \cdot \left( 4x^3 + 2 \cdot 2560 x \right) \Big)^2} dx = 41{,}39 \)
\(\\\)
im Modell. Das entspricht \(413{,}9 \, m\) in der realen Hängebrücke.
\(\\[1em]\)