HMF 6 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Abstand 3
Mit der Abstandsformel
\( \quad \begin{array}{ r c l } Abst(E{;}P) & = & \Bigl|\frac{a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 - d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\Bigr| \end{array} \)
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kann der Abstand berechnet werden. Dazu setzen wir den Punkt \(A(2|0|0)\) für die \(x\)-Werte und die Parameter der Ebenengleichung
\( \quad E: \quad x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 11 \)
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für \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) ein.
\( \quad \begin{array}{ r c l } Abst(E{;}A) & = & \Bigl|\frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 11}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}\Bigr| \\[12pt] & = & \Bigl|\frac{2 - 11}{\sqrt{9}}\Bigr| \\[12pt] & = & \Bigl|\frac{-9}{\; 3}\Bigr| \\[8pt] & = & | -3 | \\[5pt] & = & 3 \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Ebene in Parameterform
Für die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) gilt:
\( \quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = 0 \)
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und
\( \quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \).
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Dabei besteht \(\overrightarrow{n}\) aus den Parametern \(a\), \(b\) und \(c\) der Ebene mit
\( \quad \overrightarrow{n} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
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Durch gezieltes Probieren erhalten wir
\( \quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 0 \)
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und
\( \quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =1 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 0 \)
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Daraus ergibt sich die Parameterform
\( \quad E: \; \overrightarrow{x} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 11 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +s \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
\(\\[1em]\)