Modell der Brücke
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Position der Pfeiler
Wie angegeben haben die Pfeiler einen Abstand von \(400 \, m\) voneinander. Da die Brücke achsensymmetrisch ist, müssen die Pfeiler jeweils \(200 \, m\) von der \(y\)-Achse entfernt liegen.
Da nun eine Einheit \(10 \, m\) entspricht, müssen die Pfeiler bei \(x_1=-20\) und bei \(x_2=20\) liegen.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Höhe des rechten Pfeilers über der Wasseroberfläche
Um die Höhe des Pfeilers zu bestimmen, setzen wir \(x_2\) in die Funktion \(r\) ein.
\( \quad r(20) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32 - 20)}-1\right) = 5 \)
\(\\\) Damit liegt der obere Teil des Pfeilers \(50 \, m\) über der Fahrbahn.
Diese liegt wiederum \(20 \, m\) über der Wasseroberfläche. Es ergibt sich also eine Höhe von \(70 \; m\) über der Wasseroberfläche.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Ableitungsterm und Winkel
Ableitungsterm
Der Term von \(r\) ist eine mehrfach verkettete Funktion von der Form
\( \quad r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32 - x)}-1\right) = t\bigg(u\Big(v\big(w(x)\big)\Big)\bigg) \)
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Nach der Kettenregel ist die Ableitung von \(r\)
\( \quad r'(x) = t'\bigg(u\Big(v\big(w(x)\big)\Big)\bigg) \cdot u'\Big(v\big(w(x)\big)\Big) \cdot v'\big(w(x)\big) \cdot w'(x) \)
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Betrachten wir nun die einzelnen Terme von innen nach außen:
\( \quad \begin{array}{ r c l } w(x) & = & 32 - x \\[8pt] v\big(w(x)\big) & = & \frac{1}{11}(32 - x) \\[8pt] u\Big(v\big(w(x)\big)\Big) & = & e^{\frac{1}{11}(32 - x)}-1 \\[8pt] t\bigg(u\Big(v\big(w(x)\big)\Big)\bigg) & = & \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32 - x)}-1\right) \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wir vereinfachen nun die Ausdrücke, indem wir die ersten 3 Terme durch ihre Bezeichnungen \(u\), \(v\) und \(w\) ersetzt werden.
\( \quad \begin{array}{ r c l } w(x) & = & 32 - x \\[8pt] v(w) & = & \frac{1}{11}w \\[8pt] u(v) & = & e^v-1 \\[8pt] t(u) & = & \frac{253}{100} \cdot u \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wir bilden die Ableitungen von den einzelnen Ausdrücke.
\( \quad \begin{array}{ r c l l l r c l } w(x) & = & 32 - x & & \Longrightarrow & \quad w'(x) & = & -1 \\[8pt] v(w) & = & \frac{1}{11}w & & \Longrightarrow & \quad v'(w) & = & \frac{1}{11} \\[8pt] u(v) & = & e^v-1 & & \Longrightarrow & \quad u'(v) & = & e^v \\[8pt] t(u) & = & \frac{253}{100} \cdot u & & \Longrightarrow & \quad t'(u) & = & \frac{253}{100}\\[8pt] \end{array} \)
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Wir überführen diese Ableitungen in die gesuchten Ableitungen.
\( \quad \begin{array}{ r c l } w'(x) & = & -1 \\[8pt] v'\big(w(x)\big) & = & \frac{1}{11} \\[8pt] u'\Big(v\big(w(x)\big)\Big) & = & e^{\frac{1}{11}(32 - x)} \\[8pt] t'\bigg(u\Big(v\big(w(x)\big)\Big)\bigg) & = & \frac{253}{100} \\ \end{array} \)
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Mit der Formel der Kettenregel erhalten wir die Ableitung von \(r\).
\( \quad \begin{array}{ r c l } r'(x) & = & \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32 - x)} \cdot \frac{1}{11} \cdot (-1) \\[8pt] & = & -1 \cdot \frac{1}{11} \cdot \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32 - x)} \\[8pt] & = & - \frac{253}{1100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32 - x)} \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Winkel des Abspannseils
Der Steigungswinkel \(\alpha\) wird mithilfe der Steigung \(m=r'(20)\) berechnet.
Es gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \alpha & = & tan^{-1}\big(r'(20)\big) \\[6pt] & = & tan^{-1}\left(-\frac{253}{1100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32 - 20)} \right) \\[6pt] & = & -34{,}4^{\circ} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Das bedeutet, dass die Tangente des Abspannseils \(34{,}4^{\circ}\) unterhalb der Horizontalen verläuft. Entsprechend ist der Winkel \(\beta\) zum Pfeiler
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \beta & = & 90^{\circ} - \alpha \\[5pt] & = & 90^{\circ} - 34{,}4^{\circ} \\[5pt] & = & 55{,}6^{\circ} \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Länge der Fahrbahn
Die Länge der Fahrbahn wird berechnet über die Nullstellen. Da die Seitenansicht der Hängebrücke achsensymmetrisch ist, brauchen wir nur die Nullstelle von Funktion \(r\) berechnen. Es gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l l } r(x) & = & 0 \\[18pt] 0 & = & \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32 - x)}-1\right) & \Bigl| \; : \frac{253}{100} \\[10pt] 0 & = & e^{\frac{1}{11}(32 - x)}-1 & \bigl| \; + 1 \\[10pt] 1 & = & e^{\frac{1}{11}(32 - x)} & \bigl| \; ln \\[10pt] ln(1) & = & \frac{1}{11}(32 - x) \\[10pt] 0 & = & \frac{1}{11}(32 - x) & | \, : \frac{1}{11} \\[8pt] 0 & = & 32 - x & | \, + x \\[6pt] x & = & 32 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wegen der Achsensymmetrie ergeben sich \(x_1=32\) und \(x_2=-32\). Da nun in \(x\)-Richtung eine Längeneinheit \(10 \, m\) entspricht, erhalten wir die Länge der Fahrbahn mit
\( \quad 2 \cdot 32 \cdot 10 \, m = 640 \, m \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 5 – Fläche unter r
Hier gilt nun
\( \quad A = \displaystyle{\int}_{20}^{32} \bigg(\tfrac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32 - x)}-1\right)\bigg) \, dx \)
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Wir geben den Term rechts vom Gleichheitszeichen in den Taschenrechner ein und erhalten
\( \quad \displaystyle{\int}_{20}^{32} \bigg(\tfrac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32 - x)}-1\right)\bigg) \, dx = 24{,}659 \)
\(\\\)
Da sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung eine Einheit \(10 \, m\) entspricht, erhalten wir
\( \quad 24{,}659 \cdot 10 \, m \cdot 10 \, m = 2465{,}9 \, m^2 \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 6 – Funktionsterm im linken Abschnitt
Funktion \(r\) wird um die \(y\)-Achse gespiegelt mit
\(\\\)
\( \quad \begin{array}{ r c l l } l(x) & = & r(-x) \\[12pt] l(x) & = & \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32 + x)}-1\right) \end{array} \)
\(\\\)
Für \(l\) gilt der Definitionsbereich
\( \quad \mathbb{D} = [-32;-20] \)
\(\\[1em]\)