Spiel mit dem Glücksrad
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Viermal drehen
Damit die Spielerin eine Auszahlung erhält, muss sie viermal eine Zahl von \(1\) bis \(9\) erhalten.
\(\\\)
Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit
\(\quad P( keine \; Null ) = \left( \frac{9}{10} \right)^4 = \frac{6561}{10000} = 0{,}6561 = 65{,}61 \% \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Summe 60
Der Erwartungswert errechnet sich mit
\( \quad E(x) = \displaystyle{\sum\limits_{i=1}^{10}} P(x_i) \cdot (x_i) \)
\(\\\)
Mit den eingesetzten Auszahlungen und ihren Wahrscheinlichkeiten gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l } P(E) & = & \frac{1}{10} \cdot 0 + \frac{1}{10} \cdot 61 + \frac{1}{10} \cdot 62 + \frac{1}{10} \cdot 63 + \frac{1}{10} \cdot 63 + \frac{1}{10} \cdot 64 \\[6pt] & & + \frac{1}{10} \cdot 65 + \frac{1}{10} \cdot 66 + \frac{1}{10} \cdot 67 + \frac{1}{10} \cdot 68 + \frac{1}{10} \cdot 69 \\[8pt] & = & \frac{1}{10} \cdot ( 61 + 62 + 63 + 64 + 65 + 66 + 67 + 68 + 69 ) \\[7pt] & = & 58{,}5 \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Gleicher Erwartungswert
Der nachfolgende Term muss lauten
\( \quad 5 \cdot (n + 1) \cdot 0{,}9^{n + 1} \)
\(\\\)
Wir setzen die beiden Terme gleich.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 5 \cdot n \cdot 0{,}9^n & = & 5 \cdot (n + 1) \cdot 0{,}9^{n + 1} & | \, :5 \\[6pt] n \cdot 0{,}9^n & = & (n + 1) \cdot 0{,}9^{n + 1} & | \, : 0{,}9^n \\[8pt] n & = & (n + 1) \cdot \frac{0{,}9^{n + 1}}{0{,}9^n} \\[8pt] n & = & (n + 1) \cdot 0{,}9^{n + 1 - n} \\[6pt] n & = & (n + 1) \cdot 0{,}9 \\[6pt] n & = & 0{,}9 n + 0{,}9 & | \, -0{,}9 n \\[6pt] 0{,}1 n & = & 0{,}9 & | \, \cdot 10 \\[6pt] n & = & 9 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Die beide Werte müssen lauten \(n=9\) und \(n=10\). Wir überprüfen dies mit dem Term
\( \quad 5 \cdot n \cdot 0{,}9^n \)
\(\\\)
und berechnen den Term auch für das \(n\) davor und das danach.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 5 \cdot 8 \cdot 0{,}9^8 & = & 17{,}22 \\[8pt] 5 \cdot 9 \cdot 0{,}9^9 & = & 17{,}434 \\[8pt] 5 \cdot 10 \cdot 0{,}9^{10} & = & 17{,}434 \\[8pt] 5 \cdot 11 \cdot 0{,}9^{11} & = & 17{,}26 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Es existieren also gleiche Erwartungswerte mit zwei aufeinanderfolgenden Werten für \(n\), jedoch nicht mit drei aufeinanderfolgende Werten für \(n\).
\(\\[1em]\)