Reelle Zahl m
\(\\\)
Wenn der Steigungswinkel Null ist, so muss auch die Steigung Null sein. Es gilt also
\(\quad s'_m(x) = 0 \)
\(\\\)
Wir leiten \(s_m\) analog zu \(s\) ab mit
\(\quad s_m'(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left( 4 x^3 + 8mx^2 + 5120 x \right) \)
\(\\\)
Wir setzen die Gleichung gleich Null und vereinfachen.
\(\quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left( 4 x^3 + 8mx^2 + 5120 x \right) & \Bigl| \, : \left(\frac{1}{8}\right)^6 \\[8pt] 0 & = & 4 x^3 + 8mx^2 + 5120 x \\ \end{array} \)
\(\\\)
Durch Ausklammern ergibt sich eine Lösung mit
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & 4 x^3 + 8mx^2 + 5120 x \\[8pt] 0 & = & x \cdot \left( 4x^2 + 8mx + 5120 \right) \\[8pt] x_1 & = & 0 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Weitere Nullstellen können wir mit
\( \quad 0 = 4x^2 + 8mx + 5120 \)
\(\\\)
finden. Denn es gilt mit dem Nullprodukt
\( \quad 0 = x \cdot \left( 4x^2 + 8mx + 5120 \right) \quad \Longleftrightarrow \quad x=0 \quad \text{oder} \quad 0 = 4x^2 + 8mx + 5120 \)
\(\\\)
Die weiteren Lösungen bestimmen wir mit der PQ-Formel. Zunächst formen wir die Gleichung aber um.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & 4x^2 + 8mx + 5120 & \bigl| : 4 \\[6pt] 0 & = & x^2 + 2mx + 1280 \end{array} \)
\(\\\)
Es folgt die PQ-Formel.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } x_{2,3} & = & -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \\[18pt] x_{2,3} & = & -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2m}{2}\right)^2 - 1280} \\[12pt] x_{2,3} & = & -1 \pm \sqrt{m^2 - 1280} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Die Diskriminante ist
\( \quad D = m^2 - 1280 \)
\(\\\)
Es gilt nun folgende Fallunterscheidung:
-
Fall:
\( \quad \begin{array}{ r c l l } D & < & 0 \\[5pt] m^2 - 1280 & < & 0 & \big| \, + 1280 \\[5pt] m^2 & < & 1280 & \big| \, \sqrt{\dots} \\[5pt] m & < & \sqrt{1280} \\ \end{array} \)
\(\\\)
In diesem Fall gibt es keine weitere Lösung, also nur 1 Stelle mit dem Steigungswinkel Null.
\(\\[1em]\)
-
Fall:
\( \quad \begin{array}{ r c l l } D & = & 0 \\[5pt] m^2 - 1280 & = & 0 & \big| \, + 1280 \\[5pt] m^2 & = & 1280 & \big| \, \sqrt{\dots} \\[5pt] m & = & \sqrt{1280} \\ \end{array} \)
\(\\\)
In diesem Fall gibt es eine weitere Lösung, also 2 Stellen mit dem Steigungswinkel Null.
\(\\[1em]\)
-
Fall:
\( \quad \begin{array}{ r c l l } D & > & 0 \\[5pt] m^2 - 1280 & > & 0 & \big| \, + 1280 \\[5pt] m^2 & > & 1280 & \big| \, \sqrt{\dots} \\[5pt] m & > & \sqrt{1280} \\ \end{array} \)
\(\\\)
In diesem Fall gibt es 2 weitere Lösungen, also 3 Stellen mit dem Steigungswinkel Null.
\(\\[1em]\)