Steckbriefaufgaben


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Steckbriefaufgaben dienen dazu, ganzrationale Funktionen zu bestimmen anhand von vorgegebenen Eigenschaften. Mithilfe von diesen werden die Parameter einer allgemeinen Gleichung ermittelt, wobei der Grad dieser Gleichung in der Regel vorgegeben ist.

\(\\[1em]\)

Aufgabenstellung

Bestimme die Funktion 3. Grades, deren Graph mit der Steigung \(-\frac{1}{2}\) durch den Punkt \(P(1|1)\) läuft und den Tiefpunkt \(T(3|0)\) enthält.

\(\\[2em]\)

Skizzieren des Graphen

Das Skizzieren ist nicht zwingend notwendig, kann bei schwereren Aufgaben aber eine gute Hilfe sein, um alle Bedingungen zu finden. In diesem Fall geht es um eine Funktion 3. Grades. Dafür sind nur 2 Graphenverläufe denkbar:

my image

Da in der rechten Abbildung der Graph links vom Tiefpunkt zu steil ansteigt, ist eher der linke Graph wahrscheinlich.

my image

\(\\[2em]\)

Allgemeine Gleichung formulieren

Für eine Funktion 3. Grades gilt die allgemeine Gleichung

\( \quad f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d \)

\(\\\)

Es muss noch überprüft werden, ob auch Ableitungsfunktionen benötigt werden. Dabei gilt:

\(\\\)

In diesem Fall brauchen wir noch die 1. Ableitung.

\( \quad f'(x) = 3a \cdot x^2 + 2b \cdot x + c \)

\(\\[2em]\)

Aufstellen eines Linearen Gleichungsystems

Zum Berechnen der Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) wird ein Lineares Gleichungssystem aufgestellt. Dem Gleichungssystem nähert man sich in 3 Schritten. Im letzten Schritt werden die Werte aus dem 2. Schritt in die vorher aufgestellten Gleichungen eingesetzt.

my image

\(\\[2em]\)

Gleichungsystems lösen

Zunächst wird das Lineare Gleichungssystem zusammengefasst.

\( \quad \begin{array}{ r c r c r c r c r c r } \textrm{I} && 1 & = & a & + & b & + & c & + & d \\[6pt] \textrm{II} && -\frac{1}{2} & = & 3a & + & 2b & + & c \\[6pt] \textrm{III} && 0 & = & 27 a & + & 9 b & + & 3 c & + & d \\[6pt] \textrm{IV} && 0 & = & 27 a & + & 6 b & + & c \\ \end{array} \)

\(\\\)

Das Gleichungssystem wird vorzugsweise mit dem Additionsverfahren gelöst.

\( \quad \left. \begin{array}{ r c r c r c r c r c r c c l } \textrm{I} && 1 & = & a & + & b & + & c & + & d && | \, \cdot (-1) \\[6pt] \textrm{II} && -\frac{1}{2} & = & 3a & + & 2b & + & c \\[6pt] \textrm{III} && 0 & = & 27 a & + & 9 b & + & 3 c & + & d \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{V}}^+ \\ \)

\( \quad \begin{array}{ r c r c r c r c r c r } \textrm{IV} \; \; \; ~ && 0 & = & 27 a & + & 6 b & + & c \\ \end{array} \)

\(\\[1em]\)

\( \quad \left. \begin{array}{ l } \left. \begin{array}{ r c r c r c r c r c c l } \textrm{V} && -1 & = & 26 a & + & 8 b & + & 2 c \\[6pt] \textrm{II} && -\frac{1}{2} & = & 3a & + & 2b & + & c && | \, \cdot (-2) \\[6pt] \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{VI}}^+ \\ \begin{array}{ r c r c r c r c r c c l } \textrm{IV} \; \; ~ && 0 & = & 27 a & + & 6 b & + & \; \, c && \hspace{90pt}| \, \cdot (-2) \\ \end{array} \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{VII}}^+ \\ \)

\(\\[1em]\)

\( \quad \left. \begin{array}{ r c r c r c r } \textrm{VI} && 0 & = & 20 a & + & 4 b \\[6pt] \textrm{VII} && -1 & = & -28 a & - & 4 b \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{VIII}}^+ \\ \)

\(\\[1em]\)

\( \quad \begin{array}{ r c r c c c l } \textrm{VIII} && -1 & = & -8 a && | \, : (-8) \\[6pt] && \frac{1}{8} & = & a \\ \end{array} \)

\(\\[1em]\)

\(\qquad a \; \text{in} \; \textrm{VI} :\)

\( \quad \begin{array}{ r c c c r l } 0 & = & 20 \cdot \frac{1}{8} & + & 4 b \\[6pt] 0 & = & \frac{5}{2} & + & 4 b & \bigl| \, -\frac{5}{2} \\[6pt] -\frac{5}{2} & = & 4 b &&& \bigl| \, :4 \\[6pt] -\frac{5}{8} & = & b \\ \end{array} \)

\(\\[1em]\)

\(\qquad a,b \; \text{in} \; \textrm{II} :\)

\( \quad \begin{array}{ r c c c c c c l } -\frac{1}{2} & = & 3 \cdot \frac{1}{8} & + & 2 \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) & + & c \\[6pt] -\frac{1}{2} & = & \frac{3}{8} & - & \frac{10}{8} & + & c \\[6pt] -\frac{1}{2} & = & -\frac{7}{8} & + & c &&& \bigl| \, +\frac{7}{8} \\[6pt] \frac{3}{8} & = & c \\ \end{array} \)

\(\\[1em]\)

\(\qquad a,b ,c\; \text{in} \; \textrm{I} :\)

\( \quad \begin{array}{ r c r c r c r c c l } 1 & = & \frac{1}{8} & - & \frac{5}{8} & + & \frac{3}{8} & + & d \\[6pt] 1 & = & -\frac{1}{8} & + & d &&&&& \bigl| \, + \frac{1}{8} \\[6pt] \frac{9}{8} & = & d \\ \end{array} \)

\(\\[1em]\)

Die gesuchte Funktion lautet

\( \quad f(x) \, = \, \frac{1}{8} x^3 - \frac{5}{8} x^2 + \frac{3}{8} x + \frac{9}{8} \)

\(\\[1em]\)