Steckbriefaufgaben
Inhaltsverzeichnis
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Steckbriefaufgaben dienen dazu, ganzrationale Funktionen zu bestimmen anhand von vorgegebenen Eigenschaften. Mithilfe von diesen werden die Parameter einer allgemeinen Gleichung ermittelt, wobei der Grad dieser Gleichung in der Regel vorgegeben ist.
\(\\[1em]\)
Aufgabenstellung
Bestimme die Funktion 3. Grades, deren Graph mit der Steigung \(-\frac{1}{2}\) durch den Punkt \(P(1|1)\) läuft und den Tiefpunkt \(T(3|0)\) enthält.
\(\\[2em]\)
Skizzieren des Graphen
Das Skizzieren ist nicht zwingend notwendig, kann bei schwereren Aufgaben aber eine gute Hilfe sein, um alle Bedingungen zu finden. In diesem Fall geht es um eine Funktion 3. Grades. Dafür sind nur 2 Graphenverläufe denkbar:
Da in der rechten Abbildung der Graph links vom Tiefpunkt zu steil ansteigt, ist eher der linke Graph wahrscheinlich.
\(\\[2em]\)
Allgemeine Gleichung formulieren
Für eine Funktion 3. Grades gilt die allgemeine Gleichung
\( \quad f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d \)
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Es muss noch überprüft werden, ob auch Ableitungsfunktionen benötigt werden. Dabei gilt:
-
Ist eine Steigung oder ein Extrempunkt angegeben, so wird die 1. Ableitung benötigt.
-
Ist ein Wendepunkt angegeben, so wird die 2. Ableitung benötigt.
-
Ist ein Sattelpunkt angegeben, so wird die 1. und 2. Ableitung benötigt.
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In diesem Fall brauchen wir noch die 1. Ableitung.
\( \quad f'(x) = 3a \cdot x^2 + 2b \cdot x + c \)
\(\\[2em]\)
Aufstellen eines Linearen Gleichungsystems
Zum Berechnen der Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) wird ein Lineares Gleichungssystem aufgestellt. Dem Gleichungssystem nähert man sich in 3 Schritten. Im letzten Schritt werden die Werte aus dem 2. Schritt in die vorher aufgestellten Gleichungen eingesetzt.
\(\\[2em]\)
Gleichungsystems lösen
Zunächst wird das Lineare Gleichungssystem zusammengefasst.
\( \quad \begin{array}{ r c r c r c r c r c r } \textrm{I} && 1 & = & a & + & b & + & c & + & d \\[6pt] \textrm{II} && -\frac{1}{2} & = & 3a & + & 2b & + & c \\[6pt] \textrm{III} && 0 & = & 27 a & + & 9 b & + & 3 c & + & d \\[6pt] \textrm{IV} && 0 & = & 27 a & + & 6 b & + & c \\ \end{array} \)
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Das Gleichungssystem wird vorzugsweise mit dem Additionsverfahren gelöst.
\( \quad \left. \begin{array}{ r c r c r c r c r c r c c l } \textrm{I} && 1 & = & a & + & b & + & c & + & d && | \, \cdot (-1) \\[6pt] \textrm{II} && -\frac{1}{2} & = & 3a & + & 2b & + & c \\[6pt] \textrm{III} && 0 & = & 27 a & + & 9 b & + & 3 c & + & d \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{V}}^+ \\ \)
\( \quad \begin{array}{ r c r c r c r c r c r } \textrm{IV} \; \; \; ~ && 0 & = & 27 a & + & 6 b & + & c \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
\( \quad \left. \begin{array}{ l } \left. \begin{array}{ r c r c r c r c r c c l } \textrm{V} && -1 & = & 26 a & + & 8 b & + & 2 c \\[6pt] \textrm{II} && -\frac{1}{2} & = & 3a & + & 2b & + & c && | \, \cdot (-2) \\[6pt] \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{VI}}^+ \\ \begin{array}{ r c r c r c r c r c c l } \textrm{IV} \; \; ~ && 0 & = & 27 a & + & 6 b & + & \; \, c && \hspace{90pt}| \, \cdot (-2) \\ \end{array} \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{VII}}^+ \\ \)
\(\\[1em]\)
\( \quad \left. \begin{array}{ r c r c r c r } \textrm{VI} && 0 & = & 20 a & + & 4 b \\[6pt] \textrm{VII} && -1 & = & -28 a & - & 4 b \\ \end{array} \quad \right]_{\Rightarrow \; \textrm{VIII}}^+ \\ \)
\(\\[1em]\)
\( \quad \begin{array}{ r c r c c c l } \textrm{VIII} && -1 & = & -8 a && | \, : (-8) \\[6pt] && \frac{1}{8} & = & a \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
\(\qquad a \; \text{in} \; \textrm{VI} :\)
\( \quad \begin{array}{ r c c c r l } 0 & = & 20 \cdot \frac{1}{8} & + & 4 b \\[6pt] 0 & = & \frac{5}{2} & + & 4 b & \bigl| \, -\frac{5}{2} \\[6pt] -\frac{5}{2} & = & 4 b &&& \bigl| \, :4 \\[6pt] -\frac{5}{8} & = & b \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
\(\qquad a,b \; \text{in} \; \textrm{II} :\)
\( \quad \begin{array}{ r c c c c c c l } -\frac{1}{2} & = & 3 \cdot \frac{1}{8} & + & 2 \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) & + & c \\[6pt] -\frac{1}{2} & = & \frac{3}{8} & - & \frac{10}{8} & + & c \\[6pt] -\frac{1}{2} & = & -\frac{7}{8} & + & c &&& \bigl| \, +\frac{7}{8} \\[6pt] \frac{3}{8} & = & c \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
\(\qquad a,b ,c\; \text{in} \; \textrm{I} :\)
\( \quad \begin{array}{ r c r c r c r c c l } 1 & = & \frac{1}{8} & - & \frac{5}{8} & + & \frac{3}{8} & + & d \\[6pt] 1 & = & -\frac{1}{8} & + & d &&&&& \bigl| \, + \frac{1}{8} \\[6pt] \frac{9}{8} & = & d \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Die gesuchte Funktion lautet
\( \quad f(x) \, = \, \frac{1}{8} x^3 - \frac{5}{8} x^2 + \frac{3}{8} x + \frac{9}{8} \)
\(\\[1em]\)