HMF 5 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Term
Der folgende Wahrscheinlichkeitsbaum stellt den Sachverhalt dar:
Es handelt sich hier also um einen Versuch von zwei Kugeln mit Zurücklegen. Werden zwei verschiedene Kugeln gezogen werden, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit
\( \quad P(x) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} \)
Das Ereignis muss demnach lauten:
“Es werden ein \(a\) und eine \(2\) gezogen.‘’
\(\\[1em]\)
Aufgabe 2 – Wert von a
Für das Produkt \(X\) ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
\( \quad \begin{array}{ | c | c | c | } \hline \\[-15pt] \textbf{Ereignis} & \textbf{Produkt X} & \textbf{Wahrscheinlichkeit P(X)} \\[5pt] \hline & & \\[-20pt] a \; {;} \; a & a^2 & \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \; = \; \frac{4}{25} \\[8pt] a \; {;} \; 2 & 2a & \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} \; = \; \frac{6}{25} \\[8pt] 2 \; {;} \; a & 2a & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} \; = \; \frac{6}{25} \\[8pt] 2 \; {;} \; 2 & 4 & \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} \; = \; \frac{9}{25} \\ \\[-20pt] \hline \end{array} \)
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Der Erwartungswert wird nun berechnet mit
\( \quad E(x) = x_1 \cdot P(x_1) + x_2 \cdot P(x_2) + x_3 \cdot P(x_3) + x_4 \cdot P(x_4) \)
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Es ergibt sich
\( \quad \begin{array}{ r c l l } a^2 \cdot \frac{4}{25} + 2 \cdot 2a \cdot \frac{6}{25} + 4 \cdot \frac{9}{25} & = & 4 & | \cdot 25 \\[6pt] 4 a^2 + 24a + 36 & = & 100 & | : 4 \\[6pt] a^2 + 6a + 9 & = & 25 & | - 25 \\[6pt] a^2 + 6a - 16 & = & 0 \\ \end{array} \)
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Mit der PQ-Formel folgt
\( \quad \begin{array}{ r c l } a_{1,2} & = & -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[18pt] a_{1,2} & = & -\frac{6}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-16)}\\[12pt] a_{1,2} & = & -3 \pm \sqrt{3^2+16}\\[8pt] a_{1,2} & = & -3 \pm \sqrt{25}\\[8pt] a_{1,2} & = & -3 \pm 5 \\[8pt] a_1 & = & -3 + 5 \; = \; 2 \\[8pt] a_2 & = & -3 - 5 \; = \, -8 \\ \end{array} \)
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Da \(a\) negativ sein muss, kommt nur der Wert \(a_2 = -8\) infrage.
\(\\[1em]\)