Lotfußpunktverfahren
Inhaltsverzeichnis
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Das Lotfußpunktverfahren wird verwendet, um den Abstand eines Punktes von einer Geraden oder um den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu berechnen.
Für den letzteren Fall wird in der Regel die Abstandsberechnung mit der Hesse’schen Normalenform vorgezogen, da dieses weniger aufwändig ist. Das Lotfußpunktverfahren ist aber trotzdem möglich.
Geht es bei dem Fall Punkt-Ebene darum, nur den Lotfußpunkt zu ermitteln, so muss das Lotfußpunktverfahren verwendet werden. Denn die Hesse’sche Normalenform berechnet nur den Abstand.
\(\\[1em]\)
Lotfußpunkt
Betrachten wir zunächst den Fall Abstand Punkt zu Ebene. Von dem Punkt \(P\) wird das Lot orthogonal auf die Ebene gefällt. Den Punkt \(F\) nennt man den Fußpunkt des Lotes auf die Ebene \(E\). Der Abstand zwischen \(P\) und \(F\) bildet den minimalen Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und der Ebene \(E\).
Um den Lotfußpunkt \(F\) zu berechnen, stellen wir eine Hilfsgerade \(h\) mit dem Punkt \(P\) und dem Normalenvektor der Ebene auf. Der Schnittpunkt zwischen der Geraden und der Ebene ist der gesuchte Punkt \(F\).
Als Rechenbeispiel nehmen wir nun den Punkt \(P(3|4|5)\) und die Ebene \(E\) mit
\( \quad 2x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 42 \)
- Hilfsgerade aufstellen
\( \quad h: \; \overrightarrow{x}= \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
Es ergibt sich
\( \quad \begin{array}{r c l} x_1 & = & 3 + 2t \\[4pt] x_2 & = & 4 + 3t \\[4pt] x_3 & = & 5 - 2t \\ \end{array} \)
-
Schnittpunkt \(F\) bestimmen
a) Gerade in die Ebene einsetzen
\( \quad \begin{array}{r c l l} 2 \cdot (3 + 2t) + 3 \cdot (4 + 3t) - 2(5 - 2t) & = & 42 \\[4pt] 6 + 4t + 12 + 9t - 10 + 4t & = & 42 \\[4pt] 17t + 8 & = & 42 & | \, -8 \\[4pt] 17t & = & 34 & | \, :17 \\[4pt] t & = & 2 & \\ \end{array} \)
b) t in Gerade einsetzen
\( \quad \overrightarrow{x}= \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +2 \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 7 \\ 10 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
Der Fußpunkt lautet \(F(7|10|1)\).
\(\\[2em]\)
Abstand eines Punktes zu einer Geraden
Das Lotfußpunktverfahren mit einem Punkt und einer Geraden ist auf 2 Arten möglich:
Untersucht wird hier der Abstand des Punktes \(P(9|3|4)\) von der Geraden
\( \quad g: \; \, \overrightarrow{x} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} . \)
\(\\[2em]\)
Hilfsebene
Wie bei dem Abschnitt Lotfußpunkt verwenden wir wieder ein Hilfselement. Vorgegeben ist dieses Mal eine Gerade.
Konstruieren wir eine Hilfsebene, die orthogonal zu der Geraden \(g\) liegt und den Punkt \(P\) enthält, so wäre der Schnittpunkt von der Geraden und der Ebene derjenige Punkt auf der Geraden, der den geringsten Abstand zu \(P\) hat. Dieser Schnittpunkt bildet den Lotfußpunkt \(F\).
Auch hier haben wir wieder 2 Möglichkeiten. Wir können die Hilfsebene aufstellen in
\(\\[1em]\)
Hilfsebene in Normalenform
Die Normalenform der Ebene mit
\( \quad H: \; \, \big(\overrightarrow{x} - \overrightarrow{p}\big) \circ \overrightarrow{n} = 0 \)
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bietet sich hier besonders an. Denn der Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene ist der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) der Geraden. Der Punkt ist auch vorhanden mit \(P(9|3|4)\).
Wir erhalten die Normalenform der Ebene.
\( \quad H: \; \, \left[\overrightarrow{x} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 9 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = 0 \)
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Um den Schnittpunkt \(F\) zwischen der Geraden und der Hilfsebene zu bestimmen, wird die Gerade \(g\) in die Ebene eingesetzt.
\( \quad \begin{array}{r c l l} \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 9 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[8pt] \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -8 \\ -2 \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[8pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -8 \\ -2 \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[8pt] -8 \cdot 2 - 2 \cdot 5 - 4 \cdot 3 + t \cdot 2 \cdot 2 + t \cdot 5 \cdot 5 + t \cdot 3 \cdot 3 & = & 0 \\[8pt] -16 - 10 - 12 + 4t + 25t + 9t & = & 0 \\[6pt] -38 + 38t & = & 0 & | \, +38 \\[6pt] 38t & = & 38 & | \, :38 \\[6pt] t & = & 1 \\ \end{array} \)
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Hier folgt das Ganze in Koordinatenform. Um diesen Teil zu überspringen, setze den Teil “Hilfsebene in Normalenform” fort mit
\(\\[1em]\)
Hilfsebene in Koordinatenform
Alternativ kann die Hilfsebene auch mit Koordinatenform aufgestellt werden in der Form
\( \quad a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 = d. \)
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Der Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene ist der Richtungsvektor
\( \quad \overrightarrow{u} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \) der Geraden.
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Daraus resultiert die vorläufige Gleichung
\( \quad 2 x_1 + 5 x_2 + 3 x_3 = d \)
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Für den Wert \(d\) benötigen wir den Punkt \(P(4|3|4)\). \(d\) berechnet sich mit dem Skalarprodukt
\( \quad d \; = \; \overrightarrow{p} \circ \overrightarrow{n} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 9 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \; 9 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 \; = \; 45 \)
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Das ergibt die Hilfsebene
\( \quad H: \; \, 2 x_1 + 5 x_2 + 3 x_3 = 35 \)
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Aus der Geraden ergibt sich
\( \quad \begin{array}{r c l c l} x_1 & = & 1 & + & 2t \\[4pt] x_2 & = & 1 & + & 5t \\[4pt] x_3 & = & & & 3t \\ \end{array} \)
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Um den Schnittpunkt \(F\) zwischen der Geraden und der Hilfsebene zu bestimmen, wird die Gerade \(g\) in die Ebene \(H\) eingesetzt.
\( \quad \begin{array}{r c l l} 2 \cdot (1 + 2t) + 5 \cdot (1 + 5t) + 3 \cdot 3t & = & 45 \\[4pt] 2 + 4t + 5 + 25t + 9t & = & 45 \\[4pt] 38t + 7 & = & 45 & | \, -7 \\[4pt] 38t & = & 38 & | \, :38 \\[4pt] t & = & 1 \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Schnittpunkt F und Abstand
Um den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene zu erhalten, wird \(t\) in die Gerade eingesetzt:
\( \quad \overrightarrow{x}= \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +1 \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \overrightarrow{f} \)
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Abschließend brauchen wir für den gesuchte Abstand die Länge der Strecke \(\overline{FP}\).
\( \quad \begin{array}{r c l} \overline{FP} & = & \Bigl|\overrightarrow{FP}\Bigr|=\Bigl|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{f}\Bigr| \\[8pt] & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 9 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 6 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \; = \; \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 6 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] & = & \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{46} \\[6pt] & \approx & 6{,}78 \\ \end{array} \)
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Der Abstand beträgt \(6{,}78 \; LE\).
\(\\[2em]\)
Orthogonalitätsbedingung und variabler Punkt
In diesem Fall verzichten wir auf eine Hilfsebene und arbeiten direkt mit der Orthogonalitätsbedingung.
Der kürzeste Abstand vom Punkt \(P(4|3|4)\) zur Gerade \(g\) mit
\( \quad \overrightarrow{x} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
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ist die orthogonale Verbindung von \(P\) zur Geraden. Wir treffen dort auf den Lotfußpunkt \(F\). Es gilt
\( \quad \overrightarrow{PF} \circ \overrightarrow{u} = 0 \)
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Wir nutzen das Skalarprodukt um \(F\) zu berechnen. Wir wissen nun, dass \(F\) auf der Geraden \(g\) liegt. Also können wir die Koordinaten von \(F\) wie folgt beschreiben:
\( \quad F\left(1 + 2t \, \bigl| \,1 + 5t \, \bigl| \, 3t\right) \)
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Für das Skalarprodukt gilt nun
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \left(\overrightarrow{f} - \overrightarrow{p}\right) \circ \overrightarrow{u} & = & 0 \\[8pt] \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r r r} 1 & + & 2t \\ 1 & + & 5t \\ & & 3t \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 9 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[8pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r r r r r} 1 & + & 2t & - & 9 \\ 1 & + & 5t & - & 3 \\ & & 3t & - & 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[8pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{ r r r } 2t & - & 8 \\ 5t & - & 2 \\ 3t & - & 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[8pt] (2t - 8) \cdot 2 + (5t - 2) \cdot 5 + (3t - 4) \cdot 3 & = & 0 \\[8pt] 4t - 16 + 25t - 10 + 9t - 12 & = & 0 \\[6pt] 38t - 38 & = & 0 & | \, +38 \\[6pt] 38t & = & 38 & | \, :38 \\[6pt] t & = & 1 \\ \end{array} \)
Um den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene zu erhalten, wird \(t\) in die Gerade eingesetzt:
\( \quad \overrightarrow{x}= \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +1 \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \overrightarrow{f} \)
\(\\\)
Abschließend brauchen wir für den gesuchte Abstand die Länge der Strecke \(\overline{FP}\).
\( \quad \begin{array}{r c l} \overline{FP} & = & \Bigl|\overrightarrow{FP}\Bigr|=\Bigl|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{f}\Bigr| \\[8pt] & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 9 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 6 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \; = \; \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 6 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] & = & \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{46} \\[6pt] & \approx & 6{,}78 \\ \end{array} \)
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Der Abstand beträgt \(6{,}78 \; LE\).
\(\\[1em]\)