Aufgaben
Inhaltsverzeichnis
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“Stau”
Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau, der sich dann wieder vollständig auflöst.
\(\\[1em]\)
Stau an einem bestimmten Tag
An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 6:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Stau kann mithilfe der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(f\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4} \right)^2 \\[6pt] & = & -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x \\ \end{array} \)
\(\\\)
für \(0 \leq x \leq 4\) beschrieben werden, wie stark die Staulänge zunimmt bzw. abnimmt. Dabei gibt \(x\) die nach 6:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und \(f(x)\) die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\).
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- Nennen Sie die Uhrzeiten, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.
(3 P)
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-
Es gilt \(f(2) < 0\).
Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.
(1 P)
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- Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.
(5 P)
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- Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Staulänge am längsten ist.
Begründen Sie Ihre Angabe.(2 P)
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-
Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:
Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 6:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion \(s\) mit
\(\quad s(x) = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4} x^4 - 3x^3 + 4x^2\)
angegeben werden.
(2 P)
\(\\\)
- Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von 6:00 Uhr bis 8:00 Uhr und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.
(3 P)
\(\\[2em]\)
Stau an einen anderen Tag
Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 6:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt.
Dabei gibt \(x\) wieder die nach 6:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und \(y\) die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.
\(\qquad \quad\)
\(\\\)
-
Der Stau entsteht erneut um 6:00 Uhr, löst sich aber bis 10:00 Uhr nicht vollständig auf.
Begründen Sie anhand von Abbildung 2 (Arbeitsblatt), dass es einen Zeitpunkt gibt, an dem die Staulänge größer als 2 Kilometer ist.
(3 P)
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-
Um 7:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat.
Markieren Sie diesen Zeitpunkt auf dem Arbeitsblatt, begründen Sie Ihre Markierung und veranschaulichen Sie Ihre Begründung im Arbeitsblatt.
(3 P)
\(\\[2em]\)
Funktionenschar
Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(h_k\) mit
\( \quad h_k(x) = (x - 3)^k + 1 \quad \text{und} \quad k \in \mathbb{N}\setminus \{0\}. \)
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- Skizzieren Sie die Graphen von \(h_1\) und \(h_2\) in einem Koordinatensystem.
(3 P)
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- Geben Sie das Verhalten von \(h_k\) für \(x \rightarrow -\infty\) für gerade Werte und für ungerade Werte von \(k\) an
(2 P)
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- Es gibt genau zwei Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. Ermitteln Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte.
(2 P)
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- Untersuchen Sie, für welche Werte von \(k\) die Funktion \(h_k\) Nullstellen besitzt, und bestimmen Sie diese Nullstellen.
(4 P)
\(\\\)
-
Die erste Ableitungsfunktion von \(h_k\) wird mit \(h'_k\) bezeichnet. Die Graphen von \(h_k\) und \(h'_k\) werden in der Abbildung 3 für \(k=4\) beispielhaft für gerade Werte von \(k\) gezeigt.
Für jeden Wert von \(k\) mit \(k \geq 4\) werden die Punkte
\( \quad \begin{array}{ l } P \big( 4 | h_k(4) \big) \, , \; Q \big( 4 | h'_k(4) \big) \, , \\[8pt] R \big( 2 | h_k(2) \big) \; \text{und} \; S \big( 2 | h'_k(2) \big) \\ \end{array} \)
\(\\\)
betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.
Begründen Sie, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist.
Beweisen Sie, dass jedes dieser Trapeze den Flächeninhalt \(2k\) besitzt.
(6 P)
\(\\[2em]\)