Spielfigur und Koordinatensystem
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Punkt (6|6) kann nicht erreicht werden
Das Spiel endet, wenn Ronja oder Oskar die \(6\) erreicht. Folglich kann kein weiterer Zug gemacht werden, um die zweite \(6\) zu erreichen.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Punkt P(2|2)
Um den Punkt \(P(2|2)\) zu erreichen, muss Oskar einmal ziehen und Ronja zweimal. Der Wahrscheinlichkeitsbaum zeigt die möglichen Varianten.
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Es ergibt sich die Wahrscheinlichkeit mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } P(E) & = & \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} + \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} + \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{10} \\[6pt] & = & 3 \cdot \frac{3}{10} \cdot \left( \frac{7}{10}\right)^2 \\[5pt] & = & 0{,}441 \\[5pt] & = & 44{,}1 \% \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Ronja gewinnt
Ronja gewinnt, wenn sie 6-mal zieht und Oskar höchstens zweimal zieht. Das heißt, dass
- keinmal von 6-maligen Drehen des Glücksrads,
- einmal von 7-maligen Drehen des Glücksrads oder
- zweimal von 8-maligen Drehen des Glücksrads
eine \(7\), \(8\) oder \(9\) erscheinen darf. Dieses Ereignis ist binomialverteilt mit \(p = \frac{3}{10}\) und der Anzahl der Treffer
\( \quad 0 \leq k \leq 2 \)
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Es ist jedoch zu beachten, dass das 6. Ziehen von Ronja jeweils zum Schluß ausgeführt wird. Denn nach dem 6. Zug von Ronja ist das Spiel beendet.
Bei keinem Zug von Oskar ergibt sich die Bernoullikette
\( \quad \begin{array}{ r c l } P(x = 0) & = & \displaystyle{\binom{6}{0}} \cdot 0{,}3^0 \cdot 0{,}7^{6} \\ \end{array} \)
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Bei einem Zug von Oskar oder zwei Zügen von Oskar darf Ronja zunächst nur 5 Züge gemacht haben. Ihr letzter Zug wird am Schluß dazugerechnet. Damit werden die Wahrscheinlichkeiten berechnet mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } P(x = 1) \cdot \color{blue}{0{,}7} & = & \displaystyle{\binom{6}{1}} \cdot 0{,}3^1 \cdot 0{,}7^{5} \cdot \color{blue}{0{,}7} \\[18pt] P(x = 2) \cdot \color{blue}{0{,}7} & = & \displaystyle{\binom{7}{2}} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^{6} \cdot \color{blue}{0{,}7} \\ \end{array} \)
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Mit den Taschenrechnerfunktionen für Einzelwerte erhalten wir
\( \quad \begin{array}{ l c l c l } P(x = 0) & & & = & 0{,}1176 \\[5pt] P(x = 1) \cdot 0{,}7 & = & 0{,}3025 \cdot 0{,}7 & = & 0{,}2118 \\[5pt] P(x = 2) \cdot 0{,}7 & = & 0{,}3177 \cdot 0{,}7 & = & 0{,}2224 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Für den Gewinn \(G\) von Ronja gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l } G & = & 0{,}1176 + 0{,}2118 + 0{,}2224 \\[5pt] & = & 0{,}5518 \\[5pt] & = & 55{,}18 \% \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)