Aufgaben
Inhaltsverzeichnis
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“Seitenansicht einer Hängebrücke”
Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von \(400 \, m\). Die Wasseroberfläche liegt \(20 \, m\) unterhalb der Fahrbahn.
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Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit \(10 \, m\) in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die \(x\)-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die \(y\)-Achse entlang der Symmetrieachse.
\(\\[1em]\)
Modell der Brücke
Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den folgenden Funktionsterm beschrieben:
\( \quad r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32 - x)}-1\right) \)
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- Begründen Sie, dass die Pfeiler sich im Modell an den Stellen \(-20\) und \(20\) befinden
(2 P)
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- Berechnen Sie die Höhe des rechten Pfeilers über der Wasseroberfläche.
(3 P)
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-
Geben Sie einen Funktionsterm für die Ableitungsfunktion \(r'\) von \(r\) an.
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft.
(5 P)
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Die beide Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Brücke verankert.
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- Zeigen Sie, dass die Fahrbahn \(640 \, m\) lang ist.
(4 P)
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- In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt in \(m^2\).
(3 P)
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-
Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils im Modell durch einen Funktionsterm beschrieben werden.
Geben Sie einen passenden Term \(l(x)\) sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt.
(3 P)
\(\\[2em]\)
Mittlerer Abschnitt
Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von \(16 \, m\).
Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm
\(\quad s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \big(x^4 + 2560 x^2\big) +\frac{125}{256} \)
beschrieben.
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- Begründen Sie, dass der Term von \(s\) damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist.
(2 P)
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- Berechnen Sie, in welcher Höhe über der Fahrbahn sich das Tragseil in der Mitte des mittleren Abschnitts der Brücke befindet.
(2 P)
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-
Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von \(40 \, m\) und einen Höhenunterschied von \(5 \, m\).
Geben Sie eine Gleichung an, deren Lösung die \(x\)-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist.
(2 P)
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-
Geben Sie die Bedeutung des Terms
\( \quad \begin{array}{c} \left( \, \displaystyle {\displaystyle {\sum\limits_{k=1}^{24}}} s(-20 + 1{,}6 \cdot k) \right) \cdot 10 \end{array} \)
im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe.
(5 P)
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-
Die Länge \(L\) des Graphen einer Funktion \(f\) über dem Intervall \([a;b]\) kann durch
\( \quad \begin{array}{c} L = \displaystyle {\int_a^b} \sqrt{1 + \left( f'(x) \right)^2} dx \end{array} \)
berechnet werden.
Berechnen Sie die Länge des Tragseils.
(4 P)
\(\\[2em]\)
Reelle Zahl m
Für jede reelle Zahl \(m \geq 0\) ist eine Funktion \(s_m\) mit
\( \quad s_m(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \big(x^4 + \frac{8}{3}m \cdot x^3 + 2560 x^2\big) +\frac{125}{256} \)
gegeben.
Untersuchen Sie in Abhängigkeit von \(m\), in wie vielen Punkten der Graph von \(s_m\) den Steigungswinkel null hat.
(5 P)
\(\\[2em]\)