Verhalten im Unendlichen
Inhaltsverzeichnis
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Das Verhalten im Unendlichen zählt zu den allgemeine Eigenschaften einer Funktion, ebenso wie die Symmetrie oder der Definitionsbereich einer Funktion.
\(\\[1em]\)
1. Randverhalten
Das Verhalten für \(x \to \pm \infty\) wird auch als das Randverhalten einer Funktion bezeichnet.
Das heißt nun: Wie verhält sich die Funktion am linken und am rechten Rand? Geht sie nach oben oder nach unten?
\(\\[2em]\)
2. Grenzwertverhalten
Die Frage ist also, welchen Wert für \(f(x)\) die Funktion annimmt, wenn \(x\) nun \(\pm \infty\) groß wird. Nun ist es aber so, dass wir mit reellen Zahlen arbeiten, die so definiert sind, dass alle \(x\)-Werte (und auch \(y\)-Werte) stets größer als \(-\infty\) und stets kleiner als \(\infty\) sind. Deshalb können wir \(f(x)\) auch nur beschreiben für \(x\)-Werte, die nahezu unendlich groß werden.
Wir schreiben \(\lim \limits_{x \to \infty} f(x)\), was den \(y\)-Wert dafür ausdrückt, dass \(x\) den Grenzwert (limes) dafür annimmt, dass \(x\) gegen unendlich geht.
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In der obigen Abbildung strebt die Funktion, wenn sie immer weiter nach rechts geht, nach oben und wir schreiben
\( \quad \begin{array}{ r c r } \lim \limits_{x \to \infty} f(x) & = & \infty \end{array} \)
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Entsprechend strebt die Funktion, wenn sie immer weiter nach links geht, nach unten und wir schreiben
\( \quad \begin{array}{ r c r } \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) & = & -\infty \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Grenzwerte von ganzrationalen Funktionen
Wenn \(x \to \infty\) strebt bei Potenzen der Form \(x^n\) mit \(x \in \mathbb{R}\) und \(n \in \mathbb{N}\), gilt stets
\( \quad \lim \limits_{x \to \infty} x^n \; = \; \lim \limits_{x \to \infty} \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot x \dots x}_{\substack{n-mal}} \; = \; \infty \)
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Strebt \(x \to -\infty\), so liegt der Fall etwas anders. Als Beispiele sind hier die Grenzwerte für \(n \in \{2, \; 3, \; 4, \; 5\}\) aufgeführt.
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\( \quad \begin{array}{ r c l r } \lim \limits_{x \to -\infty} x^2 & = & \lim \limits_{x \to -\infty} (x \cdot x) & = & \infty \\[8pt] \lim \limits_{x \to -\infty} x^3 & = & \lim \limits_{x \to -\infty} (x \cdot x \cdot x) & = & -\infty \\[8pt] \lim \limits_{x \to -\infty} x^4 & = & \lim \limits_{x \to -\infty} (x \cdot x \cdot x \cdot x) & = & \infty \\[8pt] \lim \limits_{x \to -\infty} x^5 & = & \lim \limits_{x \to -\infty} (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x) & = & -\infty \\ \end{array} \)
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Strebt \(x \to -\infty\), so ist
- \(\lim \limits_{x \to -\infty} x^n = \infty\) , wenn \(n\) eine gerade Zahl ist
\(\\\) - \(\lim \limits_{x \to -\infty} x^n = -\infty\) , wenn \(n\) eine ungerade Zahl ist
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Liegt nun der Term \(ax^n\) mit \(a \in \mathbb{R}\) vor, so ändert sich das Vorzeichen des Grenzwertes, wenn \(a\) eine negative Zahl ist. So ist
\( \quad \begin{array}{ r c r } \lim \limits_{x \to -\infty} -4x^2 & = & -\infty \\[8pt] \lim \limits_{x \to -\infty} -4x^3 & = & \infty \\ \end{array} \)
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Haben wir eine ganzrationale Funktion (Polynom) in der Form
\( \quad a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \)
\(\\\) so ist allein der Term \(a_nx^n\) ausschlaggebend für das Verhalten \(\to \pm \infty\).
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Beispiel:
\( \quad \lim \limits_{x \to \infty} \left( -2x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 4x - 1 \right) \; = \; -\infty \)
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denn
\( \quad \lim \limits_{x \to \infty} \left(-2x^4\right) \; = \; -2 \cdot \left( \lim \limits_{x \to \infty} x \right)^4 \; = \; -\infty \)
\(\\[2em]\)
Verhalten im Unendlichen bei e-Funktionen
Betrachten wir zunächst die Funktion
\(\quad f(x) = \frac{1}{x} \)
für alle \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x > 0\). So stellen wir fest,
dass für größer werdende \(x\)-Werte der \(y\)-Wert immer kleiner wird, jedoch immer positiv bleibt.
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Analog dazu verhält sich die Funktion
\(\quad f(x) = \frac{1}{e^x} = e^{-x} \)
Gehen wir bei dem roten Graphen von \(f(x) = e^{-x}\) immer weiter nach rechts, so nimmt \(f(x)\) den Grenzwert von Null an. Wir schreiben
\(\quad \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{e^x} \; = \; 0 \)
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Entsprechendes gilt für \(e^x\) auf der linken Seite. Zusammengefasst erhalten wir
\( \quad \boxed{ \begin{array}{ c c c } \lim \limits_{x \to -\infty} e^x & = & 0 \\[8pt] \lim \limits_{x \to \infty} e^{-x} & = & 0 \\ \end{array}} \)
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Desweiteren gilt
\( \quad \boxed{ \begin{array}{ c c c } \lim \limits_{x \to \infty} e^x & = & \infty \\[8pt] \lim \limits_{x \to -\infty} e^{-x} & = & \infty \\ \end{array}} \)
\(\\[2em]\)
Verhalten im Unendlichen bei zusammengesetzten Funktionen
Funktionen können in verschiedener Weise zusammengesetzt sein. Beim Verhalten im Unendlichen beschränke ich mich hier auf die Multiplikationen/Divisionen von einer ganzrationalen Funktion und einer \(e\)-Funktion. Dazu folgen 2 Beispiele.
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Beispiel 1
\(\quad f(x)=\left(2x^2-x-1\right) \cdot e^{x + 0{,}2} \)
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Wir berechnen zunächst den Grenzwert für \(x \to \infty\) mithilfe der oben farbig markierten Regeln und des 1. Potenzgesetzes.
\( \quad \begin{array}{ c c c } \lim \limits_{x \to \infty} f(x) & = & \lim \limits_{x \to \infty} \Big(\left(2x^2-x-1\right) \cdot e^{x + 0{,}2}\Big) \\[8pt] & = & \lim \limits_{x \to \infty} \left(2x^2-x-1\right) \cdot \lim \limits_{x \to \infty}e^{x + 0{,}2} \\[8pt] & = & \lim \limits_{x \to \infty} 2x^2 \cdot \lim \limits_{x \to \infty}e^x \cdot \lim \limits_{x \to \infty}e^{0{,}2} \\ \end{array} \)
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Wir bekommen mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } \lim \limits_{x \to \infty} 2x^2 & = & \infty \\[8pt] \lim \limits_{x \to \infty} e^x & = & \infty \\[8pt] \lim \limits_{x \to \infty} e^{0{,}2} & = & e^{0{,}2} \; \approx \; 1{,}22 \\ \end{array} \)
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einen Ausdruck in der Form \(\infty \cdot \infty \cdot 1{,}22\) heraus. Das ergibt wiederum \(\infty\).
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Weiter berechnen wir den Grenzwert für \(x \to -\infty\).
\(\quad \begin{array}{ r c l } \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) & = & \lim \limits_{x \to -\infty} \left(2x^2-x-1\right) \cdot e^{x + 0{,}2} \\[12pt] & = & \lim \limits_{x \to -\infty} \left(2x^2-x-1\right) \cdot \lim \limits_{x \to -\infty} e^{x + 0{,}2} \\[12pt] & = & \lim \limits_{x \to -\infty} \left(2x^2-x-1\right) \cdot \lim \limits_{x \to- \infty}e^x \cdot \lim \limits_{x \to -\infty}e^{0{,}2} \\ \end{array} \)
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Wir bekommen mit
\( \quad \begin{array}{ r c l c l } \lim \limits_{x \to -\infty} \left(2x^2-x-1\right) & = & \lim \limits_{x \to -\infty} 2x^2 & = &\infty \\[8pt] \lim \limits_{x \to -\infty} e^x & = & 0 \\[8pt] \lim \limits_{x \to -\infty} e^{0{,}2} & = & e^{0{,}2} \; \approx \; 1{,}22 \\ \end{array} \)
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einen Ausdruck in der Form \(\infty \cdot 0 \cdot 1{,}22\) heraus. \(1{,}22\) ist hier vernachlässigbar. Es bleibt der Ausdruck \(\infty \cdot 0\), der als Ergebnis \(\infty\) oder \(0\) haben kann. Um das weiter zu untersuchen machen wir folgende Umformung:
\(\quad \lim \limits_{x \to -\infty} e^x \; = \; \lim \limits_{x \to \infty} e^{-x} \; = \; \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} \)
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Ferner ersetzen wir \(\lim \limits_{x \to -\infty} 2x^2\) durch \(\lim \limits_{x \to \infty} 2x^2\), was an der Berechnung nichts ändert.
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Wir erhalten damit
\(\quad \begin{array}{ r c l } \lim \limits_{x \to -\infty} 2x^2 \cdot \lim \limits_{x \to- \infty}e^x & = & \frac{\lim \limits_{x \to \infty} 2x^2}{\lim \limits_{x \to \infty}e^x} \\ \end{array} \)
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Das ergibt einen Ausdruck in der Form \(\frac{\infty}{\infty}\).
\(\\[2em]\)
Satz von L’Hospital
Liegen unbestimmte Ausdrücke in der Art \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\) vor, so werden deren Grenzwerte in der Regel mit dem Satz von L’Hospital berechnet.
Sind bei einem Ausdruck \(\frac{g(x)}{h(x)}\) sowohl \(g\) als auch \(h\) an einer Stelle \(x_0\) differenzierbar und stetig in ihrer Ableitungsfunktion, so gilt
\( \quad \lim \limits_{x \to x_0} \frac{g(x)}{h(x)} \; = \; \lim \limits_{x \to x_0} \frac{g'(x)}{h'(x)} \)
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Die obengenannte Regel lässt sich auch für \(x_0 = \infty\) anwenden und kann mehrfach durchgeführt werden.
Im Beispiel wird nun der Grenzwert für
\( \quad \lim \limits_{x \to \infty} \frac{g(x)}{h(x)} \; = \; \lim \limits_{x \to \infty}\frac{2x^2}{e^x} \)
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Sowohl ganzrationale Funktion als auch e-Funktionen sind für alle \(x \in \mathbb{R}\) differenzierbar und auch sie selbst und ihre Ableitungsfunktionen stetig. Deshalb gilt dies auch für \(g\) und \(h\).
\(\quad \lim \limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} \; = \; \lim \limits_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} \; = \; \lim \limits_{x \to \infty} \frac{4x}{e^x} \)
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Dieser Ausdruck ist ebenfalls von der Form \(\frac{\infty}{\infty}\). Wir wenden den Satz von L’Hospital erneut an.
\( \quad \begin{array}{ r c l } \lim \limits_{x \to \infty} \frac{g'(x)}{h'(x)} & = & \lim \limits_{x \to \infty} \frac{f''(x)}{g''(x)} \\[12pt] & = & \lim \limits_{x \to \infty} \frac{4}{e^x} \\[12pt] & = & 4 \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} \\[12pt] & = & 4 \cdot 0 \\[12pt] & = & 0 \\ \end{array} \)
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Insgesamt strebt die Funktion linksseitig gegen Null.
\(\\[2em]\)
Beispiel 2
\( \quad f(x)=\frac{8x}{e^{x^2}} \)
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Wir berechnen zunächst den Grenzwert für \(x \to \infty\).
\( \quad \lim \limits_{x \to \infty} f(x) \; = \; \lim \limits_{x \to \infty} \frac{8x}{e^{x^2}} \)
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Wir bekommen hier einen Ausdruck in der Form \(\frac{\infty}{\infty}\) heraus und berechnen weiter mit dem Satz von L’Hospital.
\( \quad \begin{array}{ r c l } \lim \limits_{x \to \infty} \frac{g(x)}{h(x)} & = & \lim \limits_{x \to \infty} \frac{g'(x)}{h'(x)} \\[8pt] & = & \lim \limits_{x \to \infty} \frac{8}{2x \cdot e^{x^2}} \\[8pt] & = & 8 \cdot \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{2x \cdot e^{x^2}} \\[8pt] & = & 8 \cdot \lim \limits_{x \to \infty} \left(\frac{1}{2x} \cdot \frac{1}{e^{x^2}} \right) \\[8pt] & = & 8 \cdot \lim \limits_{x \to \infty} \left(\frac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x^2}} \right) \\[8pt] & = & 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^2}} \\ \end{array} \)
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Wir betrachten nun den Ausdruck \(e^{x^2}\).
Wir können die Substitution \(z = x^2\) anwenden, denn es gilt \(\lim \limits_{x \to \infty} x^2 = \infty \;\) und \(\; \lim \limits_{z \to \infty} z = \infty\). Damit erhalten wir
\( \quad \begin{array}{ r c l } \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{h(x)} & = & 8 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \cdot \lim \limits_{z \to \infty} \dfrac{1}{e^z} \\[8pt] & = & 4 \cdot 0 \cdot 0 \\[8pt] & = & 0 \\ \end{array} \)
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Entsprechend ist
\( \quad \lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{8x}{e^{x^2}} \; = \; 0 \)
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und der Graph strebt für \(x \to \pm \infty\) gegen Null.
\(\\[2em]\)
Vereinfachte Berechnung für das Verhalten gegen Unendlich von Produktfunktionen
Haben wir es wie bei den vorangegangenen Beispielen es mit einer ganzrationalen Funktion und einer e-Funktion zu tun, so würde nach dem Satz des l’Hopital die e-Funktion das Verhalten gegen unendlich vorrangig bestimmen. Wir wenden uns nun noch einmal den beiden Beispielen von oben zu.
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Beispiel 1
\( \quad f(x)=\left(2x^2-x-1\right) \cdot e^{x + 0{,}2} \)
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Wir berechnen als erstes den Grenzwert für \(x \to \infty\). Die Ableitung der ganzrationalen Funktion ist positiv, so dass sie keinen Einfluß hat auf die folgende Berechnung.
\( \quad \begin{array}{ r c l } \lim \limits_{x \to \infty} f(x) & = & \lim \limits_{x \to \infty} \left(2x^2-x-1\right) \cdot e^{x + 0{,}2} \\ \end{array} \)
Sowohl die ganzrationale Funktion als auch die e-Funktion streben gegen unendlich. Also ist
\( \quad \begin{array}{ r c l } \lim \limits_{x \to \infty} f(x) & = & \infty \\ \end{array} \)
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Weiter geht’s mit dem Grenzwert für \(x \to -\infty\). Die \(0{,}2\) im Exponenten der e-Funktion hat keinen Einfluß auf den Grenzwert und braucht nicht berücksichtigt werden.
\(\quad \begin{array}{ r c l } \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) & = & \lim \limits_{x \to -\infty} \left(2x^2-x-1\right) \cdot e^{x + 0{,}2} \\ \end{array} \)
Hier strebt die ganzrationale Funktion gegen \(\infty\) und die e-Funktion gegen Null. Ausschlaggebend ist die e-Funktion. Also ist
\( \quad \begin{array}{ r c l } \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) & = & 0 \\ \end{array} \)
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Die Funktion strebt linksseitig gegen Null.
\(\\[2em]\)
Beispiel 2
\( \quad f(x)=\frac{8x}{e^{x^2}} \)
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Wir berechnen den Grenzwert für \(x \to \pm \infty\). Wie im 1. Beispiel bestimmt die e-Funktion das Randverhalten.
\( \quad \lim \limits_{x \to \pm \infty} \frac{8x}{e^{x^2}} \; = \; \frac{\lim \limits_{x \to \pm \infty} 8x}{\lim \limits_{x \to \pm \infty} e^{x^2}} \; = \; 0 \)
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Die Funktion strebt beidseitig gegen Null.